[Swift] 크루스칼 알고리즘과 위상정렬

크루스칼 알고리즘과 위상정렬

 

백준 알고리즘: 최소 스패닝 트리에서 연습할 수 있습니다.

 

✅ 서로소 집합

 

6개의 노드가 주어지는데 각 연결 관계는

6 4

1 4

2 3

2 4

5 6 

으로 주어집니다.

 

여기서 각 노드를 비교하고, 노드 번호의 부모를 업데이트 하면서 결국은 사이클이 형성되는지 찾을 수 있습니다.

하지만 이 경우 시간 복잡도에 큰 손해가 발생하는데, 이를 단축시키고자 경로 압축 기법을 사용하곤 합니다.

* 경로 압축 기법이란?

 - find 함수를 재귀적으로 호출하여 부모 테이블 값을 갱신하는 방법입니다. 

 

오늘 주로 알아 볼 내용은 크루스칼 알고리즘이므로 서로소 집합에 대한 내용은 아래 포스팅을 참고해주세요!

https://velog.io/@syc1013/%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98%EC%84%9C%EB%A1%9C%EC%86%8C-%EC%A7%91%ED%95%A9Disjoint-Sets

[알고리즘] 서로소 집합(Disjoint Sets)

 

 

✅ 신장트리 

 : 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프.

✅ 크루스칼 알고리즘

 : 최소 신장 트리를 찾는 알고리즘 중 가장 대표적인 예시가 크루스칼 알고리즘!

 

 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각해보자. 모든 도시가 연결되었을 때 최소 비용으로 연결하려면 어떻게 해야할까?

 

예를 들어, 3개의 도시(1번, 2번, 3번) 도시가 존재한다.각 도시간의 가중치는 [1-2] : 23

[2-3] : 13

[3-1] : 25

라고 가정한다.

 

이때 다리를 두는 경우의 수는 총 3가지가 존재할 수 있는데,

case A) 23 + 13 = 36 

case B) 23 + 25 = 48

case C) 25 + 13 = 38 

여기서 case A가 최소비용이며, 이를 우리는 최소 신장 트리라고 개념화 할 수 있다.

 

 

크루스칼 알고리즘

 

 백준 문제 풀이에서의 자주하는 실수 모음 .

2022.05.17 - [코딩테스트] - [Swift] BOJ 1197 네트워크 연결 (🎉 400번째 포스팅이다 ㅎㅎ)

 

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도 : O(ElogE)

E는 간선의 개수

 

크루스칼 알고리즘은 간선에 대한 최소 비용을 찾는 알고리즘이며, 그리디 알고리즘으로 분류됩니다.

 

1. 간선 테이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.

2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.

   2-1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.

   2-2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.

3. 모든 간선에 대하여 2번 과정을 반복한다.

 

최소 신장 트리는 일종의 트리 자료구조이므로 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 '노드의 개수 - 1'과 같다는 특징이 있다.

 

크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다는 것이다.

다만, 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결한다.

이렇게 하면 항상 최적의 해를 보장할 수 있다.

 

초기 단계에서는 간선의 정보를 기준으로 최소로 정렬한다.

간선이 연결된 정보의 노드를 담아두고 다음 최소 비용을 검사한다.만약 이미 node가 포함되어 있을 경우 넘어가고그렇지 않을 경우 union을 통해 사이클이 만들어지는지 아닌지 확인한다. (결국 이말이 노드들이 들어있으면 사이클이 만들어진다는 말)

 

근데 여기서 그냥 node가 포함되어 있으면 넘어가도 되는 확실한 근거가 최소값으로 정렬을 이미 해 두어서 노드가 이미 들어 있을 경우 이보다 작은 경우는 존재할 수 없다.

 

import Foundation

/// 모든 정점에 대한 정보, edges는 연결관계(비용, 시작정점, 도착정점) -> 최소신장트리를 만족하는 연결정보를 리스트로 반환
func kruskal(vertices: [String], edges: [(Int, String, String)]) -> [(Int, String, String)] {
    var mst: [(Int, String, String)] = []
    
    var edges = edges.sorted { $0.0 < $1.0 }
    var rank: [String: Int] = [:]
    var parent: [String: String] = [:]
    
    for vertice in vertices {
        rank.updateValue(0, forKey: vertice)
        parent.updateValue(vertice, forKey: vertice)
    }
    
    func find(_ node: String) -> String {
        if node != parent[node]! {               // 루트 노드 찾아야만 재귀 탈출
            parent[node] = find(parent[node]!)
        }
        return parent[node]!
    }
    
    func union(_ nodeV: String, _ nodeU: String) {
        let rankV = find(nodeV)
        let rankU = find(nodeU)
        
        if rankV > rankU {
            parent[rankU] = rankV
        } else {
            parent[nodeV] = nodeU
            if rankV == rankU {
                rank[nodeU]! += 1
            }
        }
    }
    
    while mst.count < (vertices.count - 1) {
        let node = edges.removeFirst()
        if find(node.1) != find(node.2) {
            union(node.1, node.2)
            mst.append(node)
        }
    }
    return mst
}

struct Kruskal_Module {
    
    static let vertices = ["1","2","3","4","5","6","7"]
    static let edges = [
        (29, "1", "2"),
        (75, "1", "5"),
        (35, "2", "3"),
        (34, "2", "6"),
        (7, "3", "4"),
        (23, "4", "6"),
        (13, "4", "7"),
        (53, "5", "6"),
        (25, "6", "7")
    ]
    
    static func run() {
        let answer = kruskal(vertices: vertices, edges: edges)
        print(answer)
    }
}

 

 

 

 

위상정렬

위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V+E)이다.

O: 노드, E: 간선

 

위상 정렬이란, 정렬 알고리즘의 일종이다. 위상 정렬은 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다.

조금 더 이론적으로 이야기하자면, 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것이다.

 

위상 정렬 알고리즘을 살펴보기 전에 먼저 진입차수(indegree)를 알아야 한다.

 

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.

2. 큐가 빌 때까지 아래의 과정을 반복한다.

  2-1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.

  2-2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

이떄 모든 노드를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.

 

 

(참고)

https://babbab2.tistory.com/111

Swift) 최소 신장 트리 :: 크루스칼 알고리즘(Kruskal’s algorithm) 구현 해보기